每日一题[2384]亦正亦斜

在边长为 $1$ 的等边三角形 $ABC$ 中，$D$ 为线段 $BC$ 上的动点，$DE\perp AB$ 且交 $AB$ 于点 $E$，$DF\parallel AB$ 且交 $AC$ 于点 $F$，则 $\left|2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}\right|$ 的值为_______；$\left(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}\right)\cdot \overrightarrow{DA}$ 的最小值为_______．

答案    $1$；$\dfrac{10}{20}$．

解析    如图，设 $BG=BE$，则 $\triangle BDG$ 是等比三角形，进而 $AGDE$ 是平行四边形，从而

$$\left|2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}\right|=\left|\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{DF}\right|=\left|\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GA}\right|=|AB|=1.$$

设 $A$ 在 $DF$ 上的投影为 $H$，则

$$\left(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}\right)\cdot \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DF}\cdot \overrightarrow{DA}=|DE|^2+|DF|\cdot |DH|=|DE|^2+|AG|\cdot |AE|,$$ 设 $|BD|=x$，则 $|DE|=\dfrac{\sqrt 3}2x$，$|AE|=1-\dfrac x2$，$|AG|=1-x$，于是 $$\left(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}\right)\cdot \overrightarrow{DA}=\dfrac 34x^2+\left(1-\dfrac x2\right)(1-x)=\dfrac 54x^2-\dfrac 32x+1\geqslant \dfrac{11}{20},$$ 等号当 $x=\dfrac 35$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{11}{20}$．