每日一题[2370]规范表达

数列 $\{a_n\}$ 是递增的整数数列，且 $a_1\geqslant 3$，$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=100$，则 $n$ 的最大值为（       ）

A．$9$

B．$10$

C．$11$

D．$12$

答案    C．

解析    根据题意，有 $$a_{k+1}\geqslant a_k+1\implies a_k\geqslant a_1+(k-1)\implies a_k\geqslant k+2,$$ 其中 $k\in\mathbb N^{\ast}$．因此 $$100=a_1+a_2+\cdots+a_n\geqslant \dfrac 12n^2+\dfrac 52n,$$ 从而 $$n(n+5)\leqslant 200\implies n\leqslant 12,$$ 而当 $a_k=k+2$（$k=1,2,\cdots,11$）时，等号可以取得，因此 $n$ 的最大值为 $11$．

备注   只有“要想$n$最大，前面的项应该越小越好”的想法是不够的，需要逻辑严密的进行推导．