每日一题[2363]数形结合

已知函数 $f(x)=|x-2|$，$g(x)=|2x+3|-|2x-1|$．

1、画出 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的图像．

2、若 $f(x+a)\geqslant g(x)$，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、如图．

2、如图，可得 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{11}2,+\infty\right)$．

证明如下．取 $x=\dfrac 12$，则有 $$f(x+a)\geqslant g(x)\iff \left|a-\dfrac 32\right|\geqslant 4\iff a\leqslant -\dfrac 52\lor a\geqslant \dfrac {11}2.$$ 当 $a\leqslant -\dfrac 52$ 时，取 $x=2-a\geqslant \dfrac 92$，此时 $f(x)=0$，$g(x)=4$，不符合题意． 当 $a\geqslant \dfrac{11}2$ 时，分 $(-\infty,2-a],\left(2-a,\dfrac 12\right],\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 可以验证题中不等式成立． 综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{11}2,+\infty\right)$．