每日一题[2341]入不敷出

设 $a_n=\dfrac{10}{1}\cdot \dfrac{11}{3}\cdots\dfrac{n+9}{2n-1}$ ，求证：数列 $\{a_n\}$ 有极限，并求出该极限．

答案极限为 $0$ ．

解析考虑 $n$ 足够大的情形，设 $b_k=\dfrac{k+9}{2k-1}$ ，则

b_{1} > b_{2} > \dots > b_{10} = 1 > b_{11} = \frac{20}{21} > b_{12} > \dots > b_{n},

$b_1>b_2>\cdots>b_{10}=1>b_{11}=\dfrac{20}{21}>b_{12}>\cdots>b_n,$ 从而

0 < a_{n} < A \cdot {(\frac{20}{21})}^{n - 10},

$0<a_n<A\cdot \left(\dfrac{20}{21}\right)^{n-10},$ 右侧极限为

0

$0$ ，因此根据夹逼判敛准则，数列

{a_{n}}

$\{a_n\}$ 的极限存在且为

0

$0$ ．

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