每日一题[2223]分割函数

已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-a}x+b$ 在点 $(1,{\rm e}-1)$ 处的切线与直线 $l:x+y=0$ 垂直．

1、设函数 $g(x)=xf(x)-x^2$，求函数 $g(x)$ 的单调区间．

2、证明：${\rm e}^x-2x\ln x-x>1$． 参考数据：$\ln 2\approx 0.693$，${\rm e}\approx 2.718$．

解析

1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-1)+a}{x^2},$$ 而 $$\begin{cases} f(1)={\rm e}-1,\\ f'(1)=1,\end{cases}\iff \begin{cases} a=1,\\ b=0,\end{cases}$$ 因此 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}$，进而 $g(x)={\rm e}^x-x^2-1$，其导函数 $$g'(x)={\rm e}^x-2x,$$ 当 $x<0$ 时，显然有 $g'(x)>0$，当 $x>0$ 时，有 $$g'(x)\geqslant {\rm e}x-2x>0,$$ 因此函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上均单调递增．

2、题中不等式即 $$\dfrac{{\rm e}^x-x-1}{x}>2\ln x,$$ 事实上，有 $$\dfrac{{\rm e}^x-x-1}{x}\geqslant x+{\rm e}-3> x+2\ln 2-2\geqslant 2\ln x,$$ 其中两侧的不等式分别为在 $x=1$ 和 $x=2$ 处的切线放缩，中间的不等式即 $$\ln 2<\dfrac{\sqrt 2}2<\dfrac{{\rm e}-1}2,$$ 因此命题得证．