每日一题[2174]相似三角形

$\triangle ABC$ 的边长分别为 $AB=120$，$BC=220$，$AC=180$．直线 $\ell_A,\ell_B,\ell_C$ 分别平行于 $BC,AC,AB$，且被 $\triangle ABC$ 截得的线段长分别为 $55,45,15$，则 $\ell_A,\ell_B,\ell_C$ 围成的三角形的周长为_______．

答案    $715$．

解析    如图，考虑一个一般的问题，设 $BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，$LK=a'$，$MN=b'$，$IJ=c'$，则

$$\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \sim \triangle M L C^{\prime} \sim \triangle A L K \sim \triangle J B^{\prime} K \sim \triangle J I C \sim \triangle A^{\prime} I N \sim \triangle M B N ,$$ 于是 $$\begin{cases} MB=c\cdot \dfrac {b'}{b},\\ AL=c\cdot \dfrac{a'}{a},\end{cases}\implies ML=AB-MB-AL=c\left(1-\dfrac{a'}{a}-\dfrac{b'}{b}\right),$$ 因此 $$B'C'=C'L+KL+B'K=a\left(1-\dfrac{a'}{a'}\right)+a'+a\left(1-\dfrac{a'}{a}-\dfrac{c'}{c}\right)=a\left(2-\dfrac{a'}{a}-\dfrac{b'}{b}-\dfrac{c'}{c}\right),$$ 因此 $\triangle A'B'C'$ 与 $\triangle ABC$ 的相似比为 $2-\dfrac{a'}{a}-\dfrac{b'}{b}-\dfrac{c'}{c}$．

回到本题，所求周长为

$$(220+180+120)\cdot \left(2-\dfrac{55}{220}-\dfrac{45}{180}-\dfrac{15}{120}\right)=520\cdot \dfrac{11}8=715.$$