每日一题[2114]纸老虎

对于定义在 $[-1,1]$ 上的函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，有下列命题：

① 若 $f(\cos x)=\cos nx$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），当 $n$ 为奇数时，函数 $f(x)$ 是奇函数；

② 若 $f(\cos x)=\cos nx$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），当 $n$ 为偶数时，函数 $f(x)$ 是偶函数；

③ 存在正奇数 $n$ 和奇函数 $g(x)$，满足对任意 $x$，都有 $g(\sin x)=\sin nx$；

④ 存在正偶数 $n$ 和偶函数 $g(x)$，满足对任意 $x$，都有 $g(\sin x)=\sin nx$；

⑤ 存在正整数 $n$，使得 $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为单调函数，其中 $f(\cos x)=\cos nx$，$g(\sin x)=\sin nx$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 其中真命题有_______．

答案    ①②③⑤

解析   

命题 ①②

令 $x$ 为 $x+\pi$，可得

$$f(\cos(x+\pi))=\cos n(x+\pi)\implies f(-\cos x)=\cos (nx+n\pi),$$ 根据诱导公式，有 $$f(-\cos x)=\begin{cases} \cos nx,&n\text{ 为奇数},\\ -\cos nx,& n\text{ 为偶数},\end{cases}$$ 因此命题 ①② 正确．

命题 ③④

取 $n=1$，$g(x)=x$，即得命题 ③ 的例子； 在 $g(\sin x)=\sin nx$ 中令 $x$ 为 $-x$，则有

$$g(\sin (-x))=\sin n(-x)\implies g(-\sin x)=-\sin nx,$$ 因此满足该条件的函数 $g(x)$ 必然为奇函数，命题 ④ 错误．

命题 ⑤

取 $n=1$，$f(x)=x$，$g(x)=x$，即得命题 ⑤ 的例子．

命题 ⑤ 中，$n=1$ 是唯一的解．这是因为根据命题 ②，$n$ 只可能为奇数．而当 $n\geqslant 3$ 时，考虑 $g(\sin x)=\sin nx$，有

$$g(0)=g(\sin 0)=\sin(n\cdot 0)=\sin \left(n\cdot \dfrac {\pi}n\right)=g\left(\sin\dfrac{\pi}n\right),$$ 因此 $g(x)$ 在 $x=0$ 和 $x=\dfrac{\pi}n$ 处的函数值相等，$g(x)$ 不可能为单调函数．因此 $n$ 的值只能为 $1$．