每日一题[2048]保持队形

已知 $\{a_n\}$ 是无穷数列．给出两个性质：

① 对于 $\{a_n\}$ 中任意两项 $a_i,a_j$（$i>j$），在 $\{a_n\}$ 中都存在一项 $a_m$，使得 $\dfrac{a^2_i}{a_j}=a_m$；

② 对于 $\{a_n\}$ 中任意一项 $a_n$（$n\geqslant 3$），在 $\{a_n\}$ 中都存在两项 $a_k,a_l$（$k>l$），使得 $a_n=\dfrac{a^2_k}{a_l}$．

1、若 $a_n=n$（$n=1,2,\cdots$），判断数列 $\{a_n\}$ 是否满足性质 ①，说明理由．

2、若 $a_n=2^{n-1}$（$n=1,2,\cdots$），判断数列 $\{a_n\}$ 是否满足性质 ① 和性质 ②，说明理由．

3、若 $\{a_n\}$ 是递增数列，且同时满足性质 ① 和性质 ②，证明：$\{a_n\}$ 为等比数列．

解析

1、考虑 $\dfrac{a_3^2}{a_2}=\dfrac 92$，而 $\dfrac 92$ 不在数列 $\{a_n\}$ 中，因此数列 $\{a_n\}$ 不满足性质 ①．

2、对于任意 $i,j\in\mathbb N^{\ast}$，且 $i>j$，有

$$\dfrac{a_i^2}{a_j}=\dfrac{2^{2i-2}}{2^{j-1}}=2^{(2i-j)-1},$$ 于是取 $m=2i-j$ 即得 $\dfrac{a_i^2}{a_j}=a_m$； 对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n\geqslant 3$，则 $$a_n=2^{n-1}=\dfrac{2^{2(n-2)}}{2^{n-3}}=\dfrac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}},$$ 于是取 $k=n-1$，$l=n-2$ 即得 $a_n=\dfrac{a_k^2}{a_l}$． 综上所述，数列 $\{a_n\}$ 满足性质 ① 和性质 ②．

3、显然 $a_1\ne 0$，不妨设 $a_1=1$（数列中的所有数同时除以 $a_1$ 不影响性质 ① 和 ②）．用反证法，假设数列 $\{a_n\}$ 中第一次出现 $a_n\ne \dfrac{a_2}{a_1}\cdot a_1^{n-1}$ 的正整数 $n$ 的值为 $N=m+2$（$m\geqslant 1$），则数列 $\{a_n\}$ 为

$$1,q,\cdots,q^m,a_{N},\cdots,$$ 根据性质 ①，$\dfrac{\left(q^m\right)^2}{q^{m-1}}=q^{m+1}$ 在数列中，而数列递增，因此 $$q^m<a_{N}<q^{m+1}.$$ 根据性质 ②，存在 $k,l\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $k>l$，使得 $\dfrac{a_k^2}{a_l}=a_N$，由于数列递增，有 $$\dfrac{a_N}{a_k}=\dfrac{a_k}{a_l}>1\implies N>k>l,$$ 因此 $$a_k,a_l\in \left\{1,q,\cdots,q^m\right\}\implies \dfrac{a_k^2}{a_l}\in \left\{q^n \mid n\in\mathbb N^{\ast}\right\},$$ 所以不存在 $k,l\in \mathbb N^{\ast}$ 且 $k>l$，使得 $\dfrac{a_k^2}{a_l}=a_N$，进而数列 $\{a_n\}$ 不满足性质 ②，矛盾． 综上所述，数列 $\{a_n\}$ 为等比数列．