每日一题[1978]零点生成器

已知函数 $f_1(x)=|x-1|$, 且 $f_n(x)=f_{n-1}(|x-n|)$ ($n>1$ 且 $n\in\mathbb N$), 则使 $f_n(x)$ 的所有零点之和大于 $500000$ 的 $n$ 的最小值为_______.

答案    $101$．

解析    根据题意, 可以列写 $n=1,2,3,4,5$ 时 $f_n(x)$ 的零点: $$\begin{array}{c|c}\hline n&f_n(x)\text{ 的零点}\\ \hline 1&1\\ \hline 2&1,3\\ \hline 3&0,2,4,6\\ \hline 4&-2,0,2,4,6,8,10\\ \hline 5&-5,-3,-1,1,3,5,7,9,11,13,15\\ \hline \end{array}$$ 我们归纳出 $f_n(x)$ ($n\geqslant 3$) 的零点是首项为 $A_n=-\dfrac{n(n-3)}2$, 末项为 $B_n=\dfrac{n(n+1)}2$, 公差为 $2$ 的等差数列. 用数学归纳法证明如下, 命题对 $n=3$ 显然成立, 若命题对 $n$ 成立, 我们证明其对 $n+1$ 也成立. 由于 $f_{n+1}(x)$ 的零点由 $f_n(|x-(n+1)|)=0$ 确定, 因此零点集合为 $$\left\{(n+1)+A_n,(n+1)+(A_n+2),\cdots,(n+1)+B_n\right\}\cup\left\{ (n+1)-A_n,(n+1)-(A_n+2),\cdots,(n+1)-B_n\right\},$$ 将 $A_n,B_n$ 代入, 可得 $f_{n+1}(x)$ 的零点集合为 $$\left\{-\dfrac{(n+1)(n-2)}2,-\dfrac{(n+1)(n-2)}2+2,-\dfrac{(n+1)(n-2)}2+4,\cdots,\dfrac{(n+1)(n+2)}2\right\},$$ 命题得证. 因此 $f_n(x)$ 的零点之和 $$S_n=\dfrac{A_n+B_n}2\cdot \left(\dfrac{B_n-A_n}2+1\right)=\dfrac 12n(n^2-n+2).$$ 考虑到 $$\dfrac 12n(n^2-n+2)>500000\iff n^3-n^2+2n>1000000\implies n^3>1000000\implies n\geqslant 101,$$ 而当 $n=101$ 时, 有 $$\begin{split} S_{101}&=(100+1)^3-(100+1)^2+202\\ &=100^3+3\cdot 100^2+3\cdot 100+1-100^2-2\cdot 100-1+202\\ &>100^3,\end{split}$$ 符合题意. 因此所求 $n$ 的最小值为 $101$.