每日一题[1952]余弦定理的向量形式

在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB=1$，$BC=4$，$CD=2$，$DA=3$，则 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow {BD}=$ _______．

答案    $10$．

解析    统一起点，有 $$\begin{split} \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}&=\overrightarrow{AC}\cdot \left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)\\ &=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow {AB}\\ &=\dfrac{AD^2+AC^2-CD^2}2-\dfrac{AC^2+AB^2-BC^2}{2}\\ &=\dfrac{AD^2+BC^2-CD^2-AB^2}2\\ &=\dfrac{3^2+4^2-1^2-2^2}{2}\\ &=10.\end{split}$$