每日一题[1777]俄罗斯套娃

平面上有三个点集 $M,N,P$：

$$\begin{split} M&=\{(x,y)\mid |x|+|y|<1\},\\ N&=\{(x,y)\mid \left\{\sqrt{\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y+\dfrac 12\right)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2}<2\sqrt 2\right\},\\ P&=\{(x,y)\mid |x+y|<1,|x|<1,|y|<1\},\end{split}$$ 则（       ）

A．$M\subsetneqq P\subsetneqq N$

B．$M\subsetneqq N\subsetneqq P$

C．$P\subsetneqq P\subsetneqq M$

D．以上答案均不正确

答案    A．

解析    如图，$A(1,0)$，$B(0,1)$，$C(-1,0)$，$D(0,-1)$，$E(-1,1)$，$F(1,-1)$．

根据题意，集合 $M$ 为正方形 $ABCD$，$N$ 是以 $EF$ 为长轴，过点 $A,B,C,D$ 的椭圆，$P$ 是多边形 $ABECDF$．因此 $M\subsetneqq P\subsetneqq N$．