每日一题[1710]蝴蝶定理

如图所示，开口向右的抛物线对称轴与 $x$ 轴重合，焦点位于坐标原点处，并且过 $(-1,0)$ 点．设直线 $y=\dfrac x{k_1}$ 与抛物线交于点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$（$y_1>0$）两点，直线 $y=\dfrac x{k_2}$ 与抛物线交于 $C(x_3,y_3)$，$D(x_4,y_4)$（$y_3>0$）两点．

1、求抛物线方程．

2、求证：$\dfrac{k_1y_1y_2}{y_1+y_2}=\dfrac{k_2y_3y_4}{y_3+y_4}$．

3、设直线 $AC,BD$ 分别与 $y$ 轴交于 $P,Q$ 两点，求证：$|OP|=|OQ|$．

解析

1、根据题意，抛物线的焦点到准线的距离为 $2$，进而其方程为 $y^2=4(x+1)$．

2、根据抛物线的平均性质，有

$$\begin{cases} (x_1+1)(x_2+1)=1,\\ (x_3+1)(x_4+1)=1,\end{cases}\iff y_1y_2=y_3y_4=-4,$$ 又 $$k_1=\dfrac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=\dfrac{y_1+y_2}4,$$ 类似的，有 $k_2=\dfrac{y_3+y_4}4$，因此命题得证．

3、根据题意，直线 $AC$ 的截距为

$$\dfrac{x_1y_3-x_3y_1}{x_1-x_3} =\dfrac{\left(\dfrac{y_1^2}4-1\right)y_3-\left(\dfrac{y_3^2}4-1\right)y_1}{\dfrac{y_1^2}4-\dfrac{y_3^2}4} =\dfrac{y_1y_3+4}{y_1+y_3},$$ 而 $$\dfrac{y_1y_3+4}{y_1+y_3}=\dfrac{\dfrac{16}{y_2y_4}+4}{\dfrac{-4}{y_2}+\dfrac{-4}{y_4}}=-\dfrac{y_2y_4+4}{y_2+y_4},$$ 因此直线 $AC$ 与直线 $BD$ 的截距互为相反数，命题得证．

备注    即二次曲线的蝴蝶定理．