每日一题[1654]恒等式分解

已知$a,b,c$ 均为正实数，求证：$2\sqrt {bc+ca+ab}\leqslant \sqrt 3 \sqrt[3]{(b+c)(c+a)(a+b)}$．

解析

根据均值不等式，有

$$(b+c)(c+a)(a+b)\geqslant 8abc,$$ 于是 $$\begin{split} 9(b+c)(c+a)(a+b)&\geqslant 8(abc+(a+b)(b+c)(c+a))\\ &=8(a+b+c)(ab+bc+ca)\\ &\geqslant 8\sqrt{3(ab+bc+ca)}\cdot (ab+bc+ca),\end{split}$$ 整理即得．