设 n∈N∗,θ∈R.求证:|sinθ⋅sin2θ⋯sin2nθ|⩽(√32)n.
解析 设 f(x)=|sinx|⋅|sin2x|12,不等式左边为 m,则f(x)=4√4sin6xcos2x=4√43⋅sin2x⋅sin2x⋅sin2x⋅3cos2x⩽4√43(34)4=(√32)32,因此m32⩽|sinθ|⋅|sin2θ⋯sin2n−1θ|32⋅|sin2nθ|12=n−1∏k=0f(2kθ)⩽(√32)3n2,从而原命题得证.
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