每日一题[1439]完全平方数

是否存在正整数 $x,y$，使得 $x^2+y$ 和 $y^2+x$ 都是完全平方数？

答案 不存在．

解析 不妨设 $x\leqslant y$，$y^2+x=m^2$，则 $$\begin{cases} m^2=y^2+x>y^2,\\ m^2=y^2+x\leqslant y^2+y<(y+1)^2,\end{cases}$$ 因此不存在符合题意的整数 $m$，进而不存在符合题意的正整数 $x,y$．