每日一题[1380]纯粹与完备

过曲线 $F:x^2+2y^2-2=0$ 和曲线 $G:2x^2-y^2-2=0$ 的交点并且被 $y$ 轴截得弦长为 $\sqrt{13}$ 的圆锥曲线的方程为_______．

答案    $19x^2+8y^2-26=0$．

解析    设所求圆锥曲线方程为

$$H:ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0,$$ 即 $$cxy+dx+ey=-ax^2-by^2-f,$$ 由于曲线 $F$ 与曲线 $G$ 的交点形如 $(m,\pm n)$ 和 $(-m,\pm n)$，于是可得 $$c=d=e=0,$$ 进而可知所求圆锥曲线 $H$ 是唯一的．设 $$H:(x^2+2y^2-2)+\lambda (2x^2-y^2-2)=0,$$ 令 $x=0$，有 $$(2-\lambda)y^2-2-2\lambda=0,$$ 于是根据已知，有 $$\dfrac{\sqrt{4(2-\lambda)(2+2\lambda)}}{|2-\lambda|}=\sqrt {13},$$ 解得 $$\lambda=\dfrac 67,$$ 进而可得所求圆锥曲线方程为 $$19x^2+8y^2-26=0.$$