每日一题[1362]相约最值

已知实数 $a,b$ 满足 $\dfrac a2+2b=\ln a+\ln b+2$，则 $a-b=$ ______．

答案    $\dfrac 32$．

解析    根据题意，有 $$\dfrac a2-\ln a= \ln b+2-2b,$$ 设 $$f(a)=\dfrac a2-\ln a,g(b)=\ln b+2-2b,$$ 则 $$f'(a)=\dfrac 12-\dfrac 1a,g'(b)=\dfrac 1b-2,$$ 于是 $$\dfrac a2-\ln a\geqslant 1-\ln 2\geqslant \ln b+2-2b,$$ 第一个等号当 $a=2$ 时取得，第二个等号当 $b=\dfrac 12$ 时取得，从而 $$a-b=\dfrac 32.$$