本题为2013年广东省深圳市高三年级第二次调研考试理科数学第21题．
定义\(\rho (x,y)=\left|{\mathrm e}^x-y\right|-y\left|x-\ln y\right|\)，其中\(x\in\mathcal R\)，\(y\in\mathcal R^+\)．
（1）若\(a>0\)，\(f(x)=\rho (x,a)\)，求\(f(x)\)在定义域内的零点的个数；
（2）设\(0<a<b\)，函数\(F(x)=\rho (x,a)-\rho (x,b)\)，求\(F(x)\)的最小值；
（3）设（2）中最小值为\(T(a,b)\)，若各项都是正数的无穷数列\(\left\{a_n\right\}\)单调递增，证明：对一切正整数\(n\)，均有\[\sum_{i=1}^{n}{T\left(a_i,a_{i+1}\right)}<\left(a_{n+1}-a_1\right)\ln 2.\]
（1）由于函数\(f(x)\)在\(x<\ln a\)时单调递增，在\(x>\ln a\)时单调递增，且当\(x=\ln a\)时，\(f(x)=0\)，于是函数\(f(x)\)在定义域内的零点个数为\(1\)；
（2）考虑到\[F'(x)=\begin{cases}a-b,&x<\ln a\\2{\mathrm e}^x-a-b,&\ln a\leqslant x\leqslant \ln b\\b-a,&x>\ln b\end{cases}\]于是函数\(F(x)\)的最小值为\[F\left(\ln\dfrac{a+b}{2}\right)=a\ln\dfrac{2a}{a+b}+b\ln\dfrac{2b}{a+b}.\]
（3）分析通项可知，欲证命题只需要证明\[\forall 0<a<b,T(a,b)<(b-a)\ln 2,\]即\[\forall 0<a<b,a\ln\dfrac{2a}{a+b}+b\ln\dfrac{2b}{a+b}<(b-a)\ln 2,\]令\(t=\dfrac{b}{a}\)，\(t>1\)，则只需要证明\[\forall t>1,\ln\dfrac{2}{1+t}+t\ln\dfrac{2t}{t+1}<(t-1)\ln 2,\]该不等式很容易通过求导证明．