已知椭圆\(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)，\(D\)为其左顶点．若存在直线\(l\)过点\(M(t,0)\)，其中\(-2<t<2\)交椭圆于\(A\)、\(B\)两点，使\(S_{\triangle AOB}=\lambda S_{\triangle AOD}\)，则称\(M\)为\(\lambda\)分点．
（1）求证：\(M(1,0)\)是\(1\)分点；
（2）求证：\(M(1,0)\)不是\(2\)分点．
由于\[\dfrac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle AOM}}=\dfrac{OD}{OM}=2,\]于是\[S_{\triangle AOB}=\lambda S_{\triangle AOD}\]等价于\[\dfrac{BM}{AM}=2\lambda -1,\]因此只需要求出\(\dfrac{BM}{AM}\)的取值范围就可以解决问题．
设直线\(AB:x=my+1\)，与椭圆方程联立可得\[\left(m^2+4\right)y^2+2my-3=0,\]记\(\dfrac{BM}{AM}=\mu\)，其中\(\mu\geqslant 1\)，则\(\dfrac{y_1}{y_2}=-\mu\)，于是\[-\mu+\dfrac{1}{-\mu}+2=\dfrac{4m^2}{-3\left(m^2+4\right)},\]从而可得\(\mu+\dfrac{1}{\mu}\)的取值范围是\(\left[2,\dfrac{10}{3}\right)\)，也即\(\mu\)的取值范围是\([1,3)\)，对应的\(\lambda\)的取值范围为\([1,2)\)，因此第(1)(2)小问均获得解决．
注
这里用到了一个结论：如果关于\(x\)的二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的两根均不为零，那么两根之比\(\lambda=\dfrac{x_1}{x_2}\)满足\[b^2-\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}+2\right)ac=0,\]该结论容易由二次方程的韦达定理推出．