每日一题[116] 两根之比

已知椭圆$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$，$D$为其左顶点．若存在直线$l$过点$M(t,0)$，其中$-2<t<2$交椭圆于$A$、$B$两点，使$S_{\triangle AOB}=\lambda S_{\triangle AOD}$，则称$M$为$\lambda$分点．

（1）求证：$M(1,0)$是$1$分点；

（2）求证：$M(1,0)$不是$2$分点．

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由于

$$\dfrac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle AOM}}=\dfrac{OD}{OM}=2,$$ 于是 $$S_{\triangle AOB}=\lambda S_{\triangle AOD}$$ 等价于 $$\dfrac{BM}{AM}=2\lambda -1,$$ 因此只需要求出$\dfrac{BM}{AM}$的取值范围就可以解决问题．

设直线$AB:x=my+1$，与椭圆方程联立可得

$$\left(m^2+4\right)y^2+2my-3=0,$$ 记$\dfrac{BM}{AM}=\mu$，其中$\mu\geqslant 1$，则$\dfrac{y_1}{y_2}=-\mu$，于是 $$-\mu+\dfrac{1}{-\mu}+2=\dfrac{4m^2}{-3\left(m^2+4\right)},$$ 从而可得$\mu+\dfrac{1}{\mu}$的取值范围是$\left[2,\dfrac{10}{3}\right)$，也即$\mu$的取值范围是$[1,3)$，对应的$\lambda$的取值范围为$[1,2)$，因此第(1)(2)小问均获得解决．

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注

这里用到了一个结论：如果关于$x$的二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根均不为零，那么两根之比$\lambda=\dfrac{x_1}{x_2}$满足

$$b^2-\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}+2\right)ac=0,$$ 该结论容易由二次方程的韦达定理推出．