已知直线 $l$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 相切于点 $P$，$l$ 与双曲线的两条渐近线交于 $M,N$ 两点，则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的值为（ ）
A．$3$
B．$4$
C．$5$
D．以上答案都不对
正确答案是A．
分析与解 法一
根据双曲线的相交直线面积定义，双曲线的方程改写为\[\dfrac{x^2}{2}-2y^2=2,\]可得 $\triangle MON$ 的面积为定值 $2$．记 $\angle MON=\theta$，则\[\tan\theta=\dfrac{2\cdot \dfrac 12}{1-\left(\dfrac 12\right)^2}=\dfrac 43,\]进而\[\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=S_{\triangle MON}\cdot \dfrac{2}{\tan\theta}=3.\]
法二 设 $M(2m,m)$，$N(2n,-n)$，则根据双曲线的相交直线面积定义，有 $P\left(m+n,\dfrac{m-n}2\right)$，于是\[\dfrac{(m+n)^2}{4}-\left(\dfrac{m-n}2\right)^2=1,\]即\[mn=1,\]因此\[\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=2m\cdot 2n+m\cdot (-n)=3mn=3.\]
注 双曲线的相交直线面积定义
坐标平面 \(xOy\) 内双曲线 \(H:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a,b>0\)）可以看作是直线 \(l_1:y=\dfrac bax\) 上一点 \(A\) 和直线 \(l_2:y=-\dfrac bax\) 上一点 \(B\) 形成的线段 \(AB\) 的中点的轨迹，在 \(l_1,l_2\) 形成的包含 \(x\) 轴的对角区域内的部分，其中 \(\triangle AOB\) 的面积为定值 \(ab\)．
读者可以自行推导证明．
由此容易得到当直线 \(AB\) 上有且只有一个点（即线段 \(AB\) 的中点）在双曲线上，因此弦 \(AB\) 与双曲线相切于弦的中点．