一个三角不等式的证明

已知$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边长，$S$是$\triangle ABC$的面积，求证：$ab+bc+ca\geqslant 4\sqrt 3S$．

分析与解　考虑到\[S=\dfrac 12ab\sin C=\dfrac 12bc\sin A=\dfrac 12ca\sin B,\]于是\[LHS=\dfrac{2S}{\sin A}+\dfrac{2S}{\sin B}+\dfrac{2S}{\sin C},\]于是原不等式等价于\[\dfrac{1}{\sin A}+\dfrac{1}{\sin B}+\dfrac{1}{\sin C}\geqslant 2\sqrt 3.\]事实上，根据柯西不等式，有\[\dfrac{1}{\sin A}+\dfrac{1}{\sin B}+\dfrac{1}{\sin C}\geqslant \dfrac{9}{\sin A+\sin B+\sin C},\]再根据琴生不等式，有\[\sin A+\sin B+\sin C\leqslant 3\sin\dfrac{A+B+C}3=\dfrac{3\sqrt 3}2,\]于是原不等式得证．

注　事实上，我们有\[a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca\geqslant (abc)^{\frac 23}\geqslant 4\sqrt 3S.\]