每日一题[913]另眼相看

发表于2017年7月19日由意琦行

已知 $a,b,c$ 是不全为 $0$ 的实数，求证： $5\left[a^2+(b+c)^2\right]>7(ab+bc+ca)$ ．

证明　原不等式即

$5a^2+5b^2+5c^2-7ab+3bc-7ca>0,$ 将左边看成关于

$a$ 的二次多项式，其判别式

$\Delta_a=49(b+c)^2-4\cdot 5\cdot\left(5b^2+5c^2+3bc\right)=-51b^2+38bc-51c^2\leqslant 0,$ 因此有

$5a^2+5b^2+5c^2-7ab+3bc-7ca\geqslant 0,$ 且等号取得的条件是

$a=b=c=0$ ，于是原不等式得证．

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《每日一题[913]另眼相看》有4条回应

harry说：

2017年7月19日下午3:11

兰琦老师，请教这一道题目如果像我这样设参数方程以后怎么把①代入②消元求最值?

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- 意琦行说：
  
  2017年7月19日下午9:22
  
  先将表达式看成关于 $\theta$ 的函数，把 $\alpha$ 看成参数，得到关于用 $\alpha$ 表达的最值 $M(\alpha)$ 后，求这个函数 $M(\alpha)$ 关于 $\alpha$ 的最值．
  
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  - harry说：
    
    2017年7月21日上午8:53
    
    谢谢老师
    
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  - harry说：
    
    2017年7月21日上午8:57
    
    那这里的表达式①的限制条件怎么使用?
    
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