已知\(b,c,d\in\mathcal R\)，函数\(f(x)=\dfrac 13x^3+\dfrac 12bx^2+cx+d\)在\((0,1)\)上既有极大值又有极小值，则\(c^2+(1+b)c\)的取值范围是（ ）
A．\(\left(0,\dfrac 1{16}\right)\)
B．\(\left(0,\dfrac 1{16}\right]\)
C．\(\left(0,\dfrac 14\right)\)
D．\(\left[0,\dfrac 14\right)\)
正确的答案是A．
事实上，很容易将原问题为转化为：
已知函数\(g(x)=x^2+bx+c\)在区间\((0,1)\)上有两个不等实根，求\(c^2+(1+b)c\)的取值范围．
不难发现\[c^2+(1+b)c=g(c)=g(0)\cdot g(1),\]仔细思考后采用后面的变形方式．
显然\(g(0)\cdot g(1) > 0\)，且可以无限趋近于\(0\)；
另一方面，设\[g(x)=\left(x-m\right)^2+h,h<0\]则有\[g(0)\cdot g(1)<m^2\cdot \left(1-m\right)^2\leqslant \dfrac 1{16},\]且\(g(0)\cdot g(1)\)可以无限趋近于\(\dfrac 1{16}\)．
综上，正确的答案是 A．
2015年11月4日补充更直接的设参方法，参见《每日一题[289] 壮士断腕》．