每日一题[896]界限分明

已知函数f(x)=sinx2+cosx(x>0)的图象恒在直线y=kx下方,求k的取值范围.


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正确答案是[13,+)

分析与解 考虑函数φ(x)=sinx2+cosxkx,φ(0)=0,其导函数φ(x)=2cosx+1(2+cosx)2k,于是由φ(0)=13k,可以得到讨论分界点13

情形一 k13.此时φ(x)sinx2+cosx13x,右侧函数的导函数为φ(x)|k=13=(1cosx)23(2+cosx)20,于是φ(x)(0,+)上单调递减,符合题意.

情形二 k<13.考虑x为锐角的情形,此时φ(x)>13sinxkx>13(xx36)kx=x(618k)x218,于是当0<x<618k时,φ(x)>0,不符合题意.

综上所述,k的取值范围是[13,+)

 情形二也可以不通过放缩得到矛盾:

φ(0)=13k>0,考虑φ(x)在原点右边的第一个零点x0φ(x)的图象是一条连续不断的曲线,如果x0不存在,则φ(x)>0恒成立,φ(x)>φ(0)=0矛盾;)则在区间(0,x0)内,有φ(x)>0,从而在此区间内,有φ(x)>φ(0)=0,矛盾.

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