已知函数f(x)=sinx2+cosx(x>0)的图象恒在直线y=kx下方,求k的取值范围.
正确答案是[13,+∞).
分析与解 考虑函数φ(x)=sinx2+cosx−kx,则φ(0)=0,其导函数φ′(x)=2cosx+1(2+cosx)2−k,于是由φ′(0)=13−k,可以得到讨论分界点13.
情形一 k⩾13.此时φ(x)⩽sinx2+cosx−13x,右侧函数的导函数为φ′(x)|k=13=−(1−cosx)23(2+cosx)2⩽0,于是φ(x)在(0,+∞)上单调递减,符合题意.
情形二 k<13.考虑x为锐角的情形,此时φ(x)>13sinx−kx>13(x−x36)−kx=x⋅(6−18k)−x218,于是当0<x<√6−18k时,φ(x)>0,不符合题意.
综上所述,k的取值范围是[13,+∞).
注 情形二也可以不通过放缩得到矛盾:
由φ′(0)=13−k>0,考虑φ′(x)在原点右边的第一个零点x0(φ′(x)的图象是一条连续不断的曲线,如果x0不存在,则φ′(x)>0恒成立,φ(x)>φ(0)=0矛盾;)则在区间(0,x0)内,有φ′(x)>0,从而在此区间内,有φ(x)>φ(0)=0,矛盾.