每日一题[896]界限分明

已知函数$f(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}$($x>0$)的图象恒在直线$y=kx$下方，求$k$的取值范围．

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正确答案是$\left[\dfrac 13,+\infty\right)$．

分析与解　考虑函数

$$\varphi(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}-kx,$$ 则$\varphi(0)=0$，其导函数 $$\varphi'(x)=\dfrac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}-k,$$ 于是由$\varphi'(0)=\dfrac 13-k$，可以得到讨论分界点$\dfrac 13$．

情形一　$k\geqslant \dfrac 13$．此时

$$\varphi(x)\leqslant \dfrac{\sin x}{2+\cos x}-\dfrac 13x,$$ 右侧函数的导函数为 $$\left.\varphi'(x)\right|_{k=\frac 13}=-\dfrac{(1-\cos x)^2}{3(2+\cos x)^2}\leqslant 0,$$ 于是$\varphi(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，符合题意．

情形二　$k<\dfrac 13$．考虑$x$为锐角的情形，此时

$$\varphi(x)>\dfrac 13\sin x-kx>\dfrac 13\left(x-\dfrac{x^3}6\right)-kx=x\cdot \dfrac{(6-18k)-x^2}{18},$$ 于是当$0<x<\sqrt{6-18k}$时，$\varphi(x)>0$，不符合题意．

综上所述，$k$的取值范围是$\left[\dfrac 13,+\infty\right)$．

注　情形二也可以不通过放缩得到矛盾：

由$\varphi'(0)=\dfrac 13-k>0$，考虑$\varphi'(x)$在原点右边的第一个零点$x_0$（$\varphi'(x)$的图象是一条连续不断的曲线，如果$x_0$不存在，则$\varphi'(x)>0$恒成立，$\varphi(x)>\varphi(0)=0$矛盾；）则在区间$(0,x_0)$内，有$\varphi'(x)>0$，从而在此区间内，有$\varphi(x)>\varphi(0)=0$，矛盾．