已知函数$f(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}$($x>0$)的图象恒在直线$y=kx$下方，求$k$的取值范围．
正确答案是$\left[\dfrac 13,+\infty\right)$．
分析与解 考虑函数\[\varphi(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}-kx,\]则$\varphi(0)=0$，其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}-k,\]于是由$\varphi'(0)=\dfrac 13-k$，可以得到讨论分界点$\dfrac 13$．
情形一 $k\geqslant \dfrac 13$．此时\[\varphi(x)\leqslant \dfrac{\sin x}{2+\cos x}-\dfrac 13x,\]右侧函数的导函数为\[\left.\varphi'(x)\right|_{k=\frac 13}=-\dfrac{(1-\cos x)^2}{3(2+\cos x)^2}\leqslant 0,\]于是$\varphi(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，符合题意．
情形二 $k<\dfrac 13$．考虑$x$为锐角的情形，此时\[\varphi(x)>\dfrac 13\sin x-kx>\dfrac 13\left(x-\dfrac{x^3}6\right)-kx=x\cdot \dfrac{(6-18k)-x^2}{18},\]于是当$0<x<\sqrt{6-18k}$时，$\varphi(x)>0$，不符合题意．
综上所述，$k$的取值范围是$\left[\dfrac 13,+\infty\right)$．
注 情形二也可以不通过放缩得到矛盾：
由$\varphi'(0)=\dfrac 13-k>0$，考虑$\varphi'(x)$在原点右边的第一个零点$x_0$（$\varphi'(x)$的图象是一条连续不断的曲线，如果$x_0$不存在，则$\varphi'(x)>0$恒成立，$\varphi(x)>\varphi(0)=0$矛盾；）则在区间$(0,x_0)$内，有$\varphi'(x)>0$，从而在此区间内，有$\varphi(x)>\varphi(0)=0$，矛盾．