每日一题[793]先探索 再证明

是否存在正整数$a$，使得${\rm e}^x-ax\geqslant x^2\ln x$对一切$x>0$恒成立？若存在，求出$a$的最大值；若不存在，请说明理由．

分析与解　令$x=2$，可得 $${\rm e}^2-2a\geqslant 4\ln 2,$$ 于是$a\leqslant \dfrac 12{\rm e}^2-2\ln 2<3$．下面证明$a=2$时符合题意，只需要证
$$\forall x>0,{\rm e}^x-2x\geqslant x^2\ln x,$$ 也即 $$\forall x>0,\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-\dfrac {2}{x}-\ln x>0.$$ 令$\varphi(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-\dfrac {2}{x}-\ln x$，则 $$\varphi'(x)=\dfrac{(x-2)({\rm e}^x-x)}{x^3},$$ 于是$\varphi(x)$的极小值，亦为最小值为 $$\varphi(2)=\dfrac 14{\rm e}^2-1-\ln 2>0,$$ 符合题意．

综上所述，正整数$a$的最大值为$2$．

注　1．令$x=1$可得$a\leqslant {\rm e}<3$；

2．其中估算可以利用$\dfrac{19}{7}<{\rm e}<\dfrac{20}7$，$\dfrac 23<\ln 2<\dfrac 34$．