每日一题[770]不等式的放缩

已知实数 $x,y,z$ 满足 $x^2+y^2+z^2=2$ ，则 $xy+yz+xz$ 的取值范围是________．

正确答案是 $[-1,2]$ ．

分析与解　由于

x y + y z + z x ⩽ \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + \frac{y^{2} + z^{2}}{2} + \frac{z^{2} + x^{2}}{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2,

$xy+yz+zx\leqslant \dfrac {x^2+y^2}2+\dfrac{y^2+z^2}2+\dfrac{z^2+x^2}2=x^2+y^2+z^2=2,$ 等号当

x = y = z

$x=y=z$ 时取得；又

2 x y + 2 y z + 2 z x = (x + y + z)^{2} - (x^{2} + y^{2} + z^{2}) ⩾ - 2,

$2xy+2yz+2zx=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)\geqslant -2,$ 于是

x y + y z + z x ⩾ - 1,

$xy+yz+zx\geqslant -1,$ 等号当

x + y + z = 0

$x+y+z=0$ ，如

x = - 1, y = 1, z = 0

$x=-1,y=1,z=0$ 时取得．

因此所求的取值范围是 $[-1,2]$ ．

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