每日一题[741]对数列的规划

已知等比数列$a_1,a_2,a_3,a_4$满足$a_1\in (0,1)$，$a_2\in (1,2)$，$a_3\in (2,3)$，则$a_4$的取值范围是_______．

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分析与解　$\left(2^{\frac 32},9\right)$．

根据题意，等比数列的首项和公比均为正数，设$x=\ln a_1$，$y=\ln \dfrac{a_2}{a_1}$，则

$$\begin{cases} x<0,\\ 0<x+y<\ln 2,\\ \ln 2<x+2y< \ln 3,\end{cases}$$ 求${\rm e}^{x+3y}$的取值范围，这是一个典型的线性规划问题，可行域如图．
容易求得$A\left(-\ln 3,\ln 3\right)$，$B\left(-\ln 2,\ln 2\right)$，$C\left(0,\dfrac 12\ln 2\right)$，$D\left(0,\dfrac 12\ln 3\right)$，因此不难得到 $$\dfrac 32\ln 2<x+3y<2\ln 3,$$ 因此所求的取值范围是$\left(2^{\frac 32},9\right)$．