证明：(x,y)=(1,2)是方程组{x(x+y)2=9,x(y3−x3)=7,的唯一的实数解．
分析与证明 根据题意，显然有y>x>0，从而由第一个方程可得y=3√x−x，代入第二个方程有x[(3√x−x)3−x3]=7,
令√x=m并整理得2m9−9m6+27m3+7m−27=0,
即(m−1)(2m8+2m7+2m6−7m5−7m4−7m3+20m2+20m+27)=0,
由均值不等式有(2m8+20m2)+(2m7+20m)+(2m6+27)⩾2√40m5+2√40m4+2√54m3,
因此关于m的方程有且只有实数根m=1，进而原命题得证．
注 事实上，均值不等式处也可以通过分析m的范围直接得到．
由方程组知y>x>0，从而有9>x(x+x)2=4x3，所以有0<m3=√x3<32.
从而27−7m3>0,20m−7m4=m(20−7m3)>0,20m2−7m5=m2(20−7m3)>0.
得到那个8次方程无实数解．