每日一题[565]双管齐下

已知关于$x$的方程$a\sin x+b\cos x+c=0$在$[0,2\pi)$内有两个不同的实数解$\alpha,\beta$，其中$a,b,c$均为非零常数，则$\sin(\alpha+\beta)=$_______．

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分析与解　法一　设$P(\cos x,\sin x)$是单位圆上一点，$Q(b,a)$，则根据题意，有$\overrightarrow {OP}\cdot \overrightarrow {OQ}=-c$，因此对$A(\cos\alpha,\sin\alpha)$与$B(\cos\beta,\sin\beta)$有

$$\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OQ}=\overrightarrow {OB}\cdot\overrightarrow {OQ},$$ 从而有$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {OQ}=0$，故$AB$与直线$OQ$垂直，如图．由垂径定理可得角$\dfrac{\alpha+\beta}2$的终边为$OQ$，因此 $$\begin{split} \sin(\alpha+\beta)=&2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2\cos\dfrac{\alpha+\beta}2\\=&2\cdot \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\=&\dfrac{2ab}{a^2+b^2}. \end{split}$$ 注　法一关键在于找到方程对应的几何意义，将问题转化到图形中加以解决．

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法二　通过辅助角公式与三角函数的性质求解．方程可化为

$$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)=-c,$$ 其中$\tan\varphi=\dfrac ba$．于是知$\alpha+\varphi,\beta+\varphi$是方程 $$\sin x=-\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ 的两个解，且均在区间$[\varphi,2\pi+\varphi)$内．所以有 $$\alpha +\varphi+\beta+\varphi=2k\pi+\pi,k\in\mathcal Z,$$ 所以 $$\alpha +\beta=2k\pi+\pi-2\varphi,k\in\mathcal Z.$$ 从而有 $$\sin(\alpha+\beta)=\sin{2\varphi}=\dfrac{2\tan\varphi}{1+\tan^2\varphi}=\dfrac{2ab}{a^2+b^2}.$$