初高衔接[4]二次函数与分类讨论

我们知道二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne 0)$的图象是一条抛物线，不管在初中还是高中，这都是我们最常见的一种函数．二次函数的解析式有三种形式：一般式

$$y=ax^2+bx+c,$$ 两根式（其中$x_1,x_2$是对应一元二次方程的两根） $$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$ 与顶点式（其中$(h,k)$是顶点坐标） $$y=a(x-h)^2+k.$$ 在使用待定系数法求二次函数的解析式时，要合理选择函数的形式．

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例题一　已知二次函数的图象经过点$(1,1),(5,1),(3,-3)$，求此二次函数的解析式．

分析与解　法一（一般式）
设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$，则有

$$\begin{cases} a+b+c=1,\\25a+5b+c=1,\\9a+3b+c=-3.\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases}a=1,\\b=-6,\\c=6\end{cases}$$ 于是所求二次函数为$y=x^2-6x+6$．

法二（顶点式）
因为$x=1$与$x=5$时，对应函数值相等，故

$$x=\dfrac {5+1}{2}=3$$ 是函数的对称轴，所以$(3,-3)$是函数的顶点，从而所求二次函数可以设为 $$y=a(x-3)^2-3,$$ 将$(1,1)$代入得 $$a(1-3)^2-3=1,$$ 解得$a=1$，故所求二次函数为 $$y=(x-3)^2-3=x^2-6x+6.$$ 法三（两根式）
由题意知所求二次函数向下平移一个单位即过点$(1,0),(5,0)$，故此二次函数可以设为 $$y=a(x-1)(x-5)+1,$$ 将$(3,-3)$代入知 $$a(3-1)(3-5)+1=-3,$$ 解得$a=1$，所以所求二次函数为 $$y=(x-1)(x-5)+1=x^2-6x+6.$$

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二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne 0)$的顶点坐标为

$$\left(-\dfrac {b}{2a},\dfrac {4ac-b^2}{4a}\right ).$$ 当自变量$x$没有限制时，$y$的取值范围是大于等于$\dfrac {4ac-b^2}{4a}$（$a>0$）或小于等于$\dfrac {4ac-b^2}{4a}$（$a<0$）的全体实数．当$x$有范围限制时，$y$的取值范围就需要结合二次函数的开口方向与对称轴位置，以及自变量的限制进行分类讨论了．

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例题二　(1)在$1\leqslant x\leqslant a$（$a$为大于$1$的常数）的情况下，求$y=-x^2+4x$的最大值$M$和最小值$m$；

(2)在$-1\leqslant x\leqslant 1$的情况下，求$y=x^2-2ax-1$的最大值$M$和最小值$m$．

分析与解　(1)二次函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为$x=2$，顶点为$(2,4)$，如图：

①当$1<a\leqslant 2$时，当$x=1$时，$y$有最小值；当$x=a$时，$y$有最大值；

②当$2<a\leqslant 3$时，当$x=1$时，$y$有最小值；当$x=2$时，$y$有最大值；

③当$a>3$时，当$x=a$时，$y$有最小值；当$x=2$时，$y$有最大值．

综上知最大值

$$M=\begin{cases} -a^2+4a,&1<a\leqslant 2,\\4,&a>2.\end{cases}$$ 最小值 $$m=\begin{cases} 3,&1<a\leqslant 3,\\-a^2+4a,&a>3.\end{cases}$$

(2)法一　直接数形结合
二次函数的对称轴为$x=a$，根据对称轴是否在给定的自变量的范围内进行讨论，即讨论$a$与$-1,1$的大小关系，即可求出最值，如图：

①当$a<-1$时，二次函数在$x=-1$处取到最小值，在$x=1$处取到最大值；
②当$-1\leqslant a\leqslant 1$时，二次函数在$x=a$取到最小值；最大值需要比较$x=-1$与$x=1$处函数值的大小，即比较$-1,1$离对称轴$x=a$的远近，当$a<0$时，最大值在$x=1$处取到；当$a>0$时，最大值在$x=-1$处取到；当$a=0$时，$x=1$与$x=-1$处函数值相等；
③当$a>1$时，二次函数在$x=-1$处取得最大值，在$x=1$处取到最小值．
综上知，最大值

$$M=\begin{cases} -2a,a\leqslant 0,\\2a,a>0,\end{cases}$$ 最小值 $$m=\begin{cases} 2a,a<-1,\\-a^2-1,-1\leqslant a\leqslant 1,\\ -2a,a>1.\end{cases}$$ 法二　抓住图象特征，比较端点值
先讨论最大值：因为二次函数开口向上，所以最大值只可能在$x=1$或$x=-1$处取得．又因为 $$\begin{split} x=1,y=-2a;\\x=-1,y=2a.\end{split}$$ 直接比较$-2a,2a$的大小即得最大值 $$M=\begin{cases} -2a,a\leqslant 0,\\2a,a>0.\end{cases}$$ 再考虑最小值：当对称轴在所求范围内，即$-1\leqslant a\leqslant 1$时，最小值在顶点处取得，为$-a^2-1$；当对称轴不在所求范围内，同样比较端点$1,-1$处函数值的大小即得 $$m=\begin{cases} 2a,a<-1,\\-a^2-1,-1\leqslant a\leqslant 1,\\ -2a,a>1.\end{cases}$$
注　(1)中的问题我们称为定轴动区间问题，(2)中的问题我们称为动轴定区间问题．

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最后给出两道练习：

练习一　已知二次函数的图象经过点$(-1,1),(1,1),(0,2)$，求此二次函数的解析式．

答案　$y=-x^2+2$．

练习二　已知二次函数$y=-x^2+2ax$，当$0\leqslant x\leqslant 2$时，求$y$的最大值$M$与最小值$m$．

答案　最大值

$$M=\begin{cases} 0,a<0,\\a^2,0\leqslant a\leqslant 2,\\4a-4,a>2.\end{cases}$$ 最小值 $$m=\begin{cases} 4a-4,a\leqslant 1,\\0,a>1.\end{cases}$$