每日一题[535]缩小包围圈

已知函数$f(x)={\rm e}^x(x^2+ax+a)$．

（1）当$a=1$时，求函数$f(x)$的单调区间；

（2）若关于$x$的不等式$f(x)\leqslant {\rm e}^{a}$在$[a,+\infty)$上有解，求实数$a$的取值范围；

（3）若曲线$y=f(x)$存在两条互相垂直的切线，求实数$a$的取值范围（只需直接写出结果）．

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分析与解    函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x(x+a)(x+2).$$

（1）当$a=1$时，函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x(x+1)(x+2),$$ 于是函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,-2)$和$(-1,+\infty)$；单调递减区间为$(-2,-1)$．

（2）先考虑$f(a)={\rm e}^a(2a^2+a)$，显然当$-1\leqslant a\leqslant \dfrac 12$时，$f(a)\leqslant {\rm e}^a$，接下来研究其他情形．

当$a<-1$时，函数$f(x)$在$(-\infty,-2)$和$(-a,+\infty)$上单调递增；在$(-2,-a)$上单调递减，因此函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上的最小值必然为$\min\{f(a),f(-a)\}$．考虑到$f(a)>{\rm e}^a$，又

$$f(-a)={\rm e}^{-a}\cdot a<0<{\rm e}^{a},$$ 因此符合题意．

当$a>\dfrac 12$时，无论$-a$与$-2$的大小关系如何，均有函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递增．又$f(a)>{\rm e}^a$，因此不符合题意．

综上所述，实数$a$的取值范围是$\left(-\infty,\dfrac 12\right]$．

（3）由于$f'(x)$的取值无上界，因此只需要存在负的函数值即可，因此$a$的取值范围是$(-\infty,2)\cup (2,+\infty)$．

注    （2）还可以利用

$$x^2+ax+a\leqslant {\rm e}^{a-x}\leqslant 1,$$ 得到必要条件$a\leqslant \dfrac 12$，再论证充分性．