一、范围与最值
（1）函数$f(x)=\dfrac {x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}$的最小值为_____；
（2）已知正实数$x,y$满足$\dfrac {1}{x}+\dfrac {1}{y}=4$，则$x+4y$的最小值为_____；
（3）设$\alpha,\beta$是方程$x^2-2kx+k+6=0$的两个实根，则$(\alpha-1)^2+(\beta-1)^2$的最小值为_____；
（4）已知$x\geqslant 0$，$y\geqslant 0$，且$x+2y=1$，则$2x+3y^2$的最小值为_____；
（5）函数$f(x)=\dfrac {2}{\sin^2 x}+\dfrac {8}{\cos^2 x}$的最小值为_____；
（6）已知$a^2+b^2=2$，$x^2+y^2=4$，则$ax+by$的最大值为_____．
答案 （1）$\dfrac 52$；
（2）$\dfrac 94$；
（3）$8$；
（4）$\dfrac 34$；
（5）$18$；
（6）$2\sqrt 2$．
二、规划问题
（1）已知$-2<a+b<2$，且$2<a-b<4$，则$2a+3b$的取值范围是_____；
（2）已知函数$f(x)=ax^2+bx$，且$1\leqslant f(-1)\leqslant 2$，$3\leqslant f(1)\leqslant 4$，则$f(-2)$的取值范围是_______；
（3）已知点$P(x,y)$的坐标满足条件$$\begin{cases} x\leqslant 1,\\y\leqslant 2,\\2x+y-2\geqslant 0,\end{cases} $$那么$x^2+y^2$的取值范围是_______．
答案 （1）$(-7,4)$；
（2）$[6,10]$．
（3）$\left[\dfrac 45,5\right ]$．
三、恒成立问题
（1）若不等式$x^2-{\log_a}x>0$在$\left(\dfrac 12,1\right)$上恒成立，则实数$a$的取值范围是_____；
（2）若不等式$(-1)^na<2+\dfrac {(-1)^{n+1}}{n}$对于任意$n\in\mathcal{N}^*$均成立，则实数$a$的取值范围是_____．
答案 （1）$\left(0,\dfrac {1}{16}\right]\cup(1,+\infty)$；
（2）$\left[-2,\dfrac 32\right )$．