练习题集[39]基础练习

1、已知函数$f(x)={\rm e}^x-ax-1$，$g(x)=\ln\left({\rm e}^x-1\right)-\ln x$，若存在$m>0$，使$f(g(m))>f(m)$成立，则$a$的取值范围是_______．

2、已知$AB=3$，$BC=7$，$CD=11$，$DA=9$，则$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$的取值范围是_______．

3、已知$x,y>0$，$4x+\dfrac 1x+y+\dfrac 9y=26$，则$4x+y$的最大值与最小值之差为_______．

4、已知点$F$是双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左焦点，点$E$是该双曲线的右顶点，以坐标原点$O$为圆心，$OF$为半径的圆与该双曲线左支交于$A,B$两点，若$\triangle ABE$是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是_______．

5、求证：当$x>1$时，$\left(1+\ln x\right)\cdot\left(x+\dfrac{1}{{\rm e}^x}\right)>2\cdot\dfrac{x({\rm e}+1)}{{\rm e}(x+1)}$．

6、函数$f(x)=x^2+2(a+2)x+4\ln x$的图象上是否存在两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$使$f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$成立？若存在，请求出$x_0$的值；若不存在，请说明理由．

7、已知$a>0$，且对一切$x\geqslant 0$，有${\rm e}^{ax}-ax^2\geqslant 0$，则$a$的取值范围是_______．

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参考答案

1、$(1,+\infty)$．

提示    $\forall x>0,g(x)>x$．

2、$\{0\}$．

提示    对边平方和相等的四边形的对角线互相垂直．

3、$24$．

提示    最小值为$1$，最大值为$25$．

4、$\left(1,1+\sqrt 3\right)$．

5、只需要证明

$$\dfrac{x+1}x\cdot (1+\ln x)\cdot \left(x+\dfrac 1{{\rm e}^x}\right)>\dfrac{2({\rm e}+1)}{{\rm e}},$$ 而 $$LHS=\left(\ln x+\dfrac 1x+1+\dfrac{\ln x}x\right)\cdot \left(x+\dfrac{1}{{\rm e}^x}\right),$$ 设$f(x)=\ln x+\dfrac 1x$，则 $$LHS=\left[f(x)+1+\dfrac{\ln x}x\right]\cdot f\left({\rm e}^x\right).$$ 容易证明$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增，因此 $$LHS>\left(2+\dfrac{\ln x}{x}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{\rm e}\right)>RHS,$$ 于是原不等式得证．

注    直接利用放缩：$\ln x>2\cdot\dfrac{x-1}{x+1}$($x>1$)亦可．

6、不存在．

7、$\left[\dfrac{4}{{\rm e}^2},+\infty\right)$．

提示    即$\forall t\geqslant 0,{\rm e}^t-\dfrac {t^2}a\geqslant 0$．