每日一题[459]圆中的解三角形

已知圆$E:(x-2)^2+y^2=3$，设直线$l_1:x-my-1=0$交圆$E$于$A,C$两点，直线$l_2:mx+y-m=0$交圆$E$于$B,D$两点．线段$AB,CD$分别位于$x$轴的上方和下方．当$CD$的斜率为$-1$时，求线段$AB$的长．

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分析    注意到直线$l_1$与直线$l_2$是过$F(1,0)$且互相垂直的两条直线．在这样浓厚的几何色彩下，我们选择利用三角知识解决问题．

解    取$CD$的中点$M$，连接$FM,EM,EC$．由$CD$的斜率为$-1$可得$\angle FEM=45^\circ$，在$\triangle FEM$中应用余弦定理，有

$$FM^2=FE^2+EM^2-2FE\cdot EM\cdot\cos 45^\circ,$$ 又$FM^2=EC^2-EM^2$，代入数据可得 $$EM=\sqrt 2,FM=1,$$ 进而$FM\perp FE$，因此$\angle FMD=45^\circ$，于是$\angle FCD=22.5^\circ$，进而 $$FC=2\cos 22.5^\circ,FD=2\sin 22.5^\circ.$$

根据圆幂定理，有

$$DF\cdot FB=CF\cdot FA=EC^2-EF^2=2,$$ 从而 $$\begin{split} AB^2&=AF^2+BF^2\\ &=\dfrac{1}{\sin^222.5^\circ}+\dfrac{1}{\cos^222.5^\circ}\\ &=\dfrac{4}{\sin^245^\circ} \\ &=8,\end{split}$$ 因此线段$AB$的长为$2\sqrt 2$．