每日一题[446]内心遇上重心

已知$\triangle ABC$中，$B(-1,0)$，$C(1,0)$．设点$G,I$分别为$\triangle ABC$的重心和内心，且$GI\parallel BC$，求$A$点的轨迹方程．

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解    法一    如图，延长$AI$交$BC$于点$D$，根据重心和内心的性质，有

$$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AI}{DI}=\dfrac {AG}{GO}=\dfrac 21,$$ 于是 $$\dfrac{AB+AC}{BD+DC}=2,$$ 即$AB+AC=4$．

法二    由于$GI\parallel BC$，于是

$$S_{\triangle IBC}=S_{\triangle GBC}=\dfrac 13S_{\triangle ABC},$$ 从而 $$S_{\triangle IAB}+S_{\triangle IAC}=2S_{\triangle IBC},$$ 即 $$\dfrac 12 AB\cdot r+\dfrac 12 AC\cdot r=BC\cdot r,$$ 其中$r$为$\triangle ABC$的内切圆半径，于是$AB+AC=4$．

根据椭圆的定义可知，$A$点的轨迹方程为

$$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}{3}=1,y\neq 0.$$