每日一题[401]“非典型”坐标

这是我从“数海拾贝读者俱乐部”中看到的题：

已知点$A(0,-1),B(3,0),C(1,2)$，平面区域$P$是由所有满足$\overrightarrow {AM}=\lambda \overrightarrow {AB}+\mu\overrightarrow {AC}$（其中$2<\lambda <m,2<\mu<n$）的点$M$组成的区域，若区域$P$的面积为$16$，则$m+n$的最小值为____．

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正确答案是$4+2\sqrt 2$．

解　向量$\overrightarrow {AB}=(3,1)$，$\overrightarrow {AC}=(1,3)$，如图：

先考虑如何得到满足条件

$$\overrightarrow {AM}=\lambda \overrightarrow {AB}+\mu\overrightarrow {AC}$$ 的点$M$的位置（不考虑题目中$\lambda,\mu$的范围）：在直线$AB,AC$上作出向量 $$\overrightarrow {AM_1}=\lambda \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AM_2}=\mu\overrightarrow {AC},$$ 过$M_1,M_2$作别作$AC,AB$的平行线，交于点$M$，则 $$\overrightarrow {AM}=\lambda \overrightarrow {AB}+\mu\overrightarrow {AC}.$$ 由此我们容易得到区域$P$如下：
平行四边形的两边分别对应的向量为 $$(m -2)\overrightarrow {AB},(n-2)\overrightarrow {AC},$$ 我们容易计算得以$AB,AC$为邻边的平行四边形的面积为$8$，所以区域$P$的面积为$8(m-2)(n-2)$，从而有 $$(m-2)(n-2)=2.$$ 因为$m>2,n>2$，由均值不等式知 $$m-2+n-2\geqslant 2\sqrt{(m-2)(n-2)}=2\sqrt 2,$$ 从而有 $$m+n\geqslant 4+2\sqrt 2,$$ 当且仅当$m=n=2+\sqrt 2$时取到等号．

我们熟悉的平面直角坐标系下的坐标，是取一组单位正交基后，任一向量在单位正交基下分解的系数．事实上，任意两个不共线的向量都可以作为基底，此时，该平面上任意一个向量在此基底下都可以作唯一的分解，得到唯一的“坐标”，这样的“坐标”在进行线性运算时，规则与平面直角坐标系下的坐标完全相同，只有在计算数量积时才会有些麻烦．平面直角坐标系下坐标的运算规则是从基底推导来的，更好地理解基底的概念，才能抓住坐标的本质，更灵活地解决向量问题．