2015年北京大学数学体验营试题

一

1、设$\triangle ABC$的垂心为$H$，中点三角形的内切圆为$\Gamma$，圆心为$S$，直线$l\parallel AB$，直线$m\parallel AC$，且都与$\Gamma$相切（$AB$与$l$，$AC$与$m$分别在$S$的同侧），$l$与$m$交于$T$，射线$AT$上一点$N$满足$AN=2AT$，$Q$是优弧$BAC$的中点，四边形$AHRQ$为平行四边形，证明：$HR\perp RN$．

2、给定整数$k>3$．证明：方程

$$mn+nr+rm=k(m+n+r)$$ 至少有$3k+3\left[\dfrac{k+4}3\right]+1$组整数解$(m,n,r)$．

3、给定正整数$k$．$A,B,C$三个人玩一个游戏（$A$一边，$B,C$一边）；$A$先从集合$\{1,2,\cdots ,n\}$中取$k$个数交给$B$，$B$从这$k$个数中选择$k-1$个有序地给$C$，若$C$能够确定$B$没给$C$的数是什么，则$B,C$就赢了．求最大的正整数$n$，使得$B,C$有必胜策略．

二

1、设$S,T\subset \mathcal N$，满足$0\in S$，且存在正实数$u,v$，使得

$$\left|S\cap\{1,2,\cdots ,n\}\right|\geqslant un,\left|T\cap\{1,2,\cdots ,n\}\right|\geqslant vn,$$ 对任意正整数$n$成立，证明：若$u+v\geqslant 1$，则$\mathcal N^*\subset S\cup T$．

2、平面上是否存在某个有限点集$A$和某个有限直线集$B$，满足$A$中的每个点恰在$B$中三条直线上，且$B$中每条直线恰好经过$A$中的三个点．

3、设$p$是奇素数，$g\in Z[x]$，$\deg g=m$，$k\in\mathcal Z$，设

$${\rm C}_{g(px)}^k=\sum_{i=0}^{mk}c_i{\rm C}_x^i,$$ 证明：$c_j\in\mathcal Z$，且$p^{1-\left[\frac kp\right]}|c_j$($j=0,1,\cdots ,mk$)．

4、设$k\in\mathcal N^*$，且

$$S=\left\{\left.\left(m+\dfrac 1k,n\right)\right|m,n\in\mathcal Z\right\},\left\{\left.\left(m+\dfrac 2k,n\right)\right|.m,n\in\mathcal Z\right\},$$ 求所有正整数$k$，使得存在$a,b,c,d\in\mathcal R$及映射 $$F:\mathcal R^2\to \mathcal R^2,F(x,y)=(ax+by,cx+dy)$$ 满足$F(S)=T$．