每日一题[384]美好的圆

在圆$x^2+y^2=25$上有一点$P(4,3)$，点$E,F$是$y$轴上两点，且满足$|PE|=|PF|$，直线$PE,PF$与圆交于$C,D$，则直线$CD$的斜率是_____．

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正确答案是$\dfrac 43$．

解　当点$E,F$在$y$轴上运动时，直线$CD$的斜率不变，如下图：

过$P$作$x$轴的平行线，交圆$O$于$Q$，连接$OQ,CQ,DQ$，如图：

我们知道

$$\angle CPQ=\angle DPQ,$$ 从而有 $$CQ=DQ,$$ 即$Q$点平分弧$CD$，故有 $$OQ\perp CD,$$ 而$Q(-4,3)$，故 $$k_{CD}=-\dfrac {1}{k_{OQ}}=\dfrac 43.$$

在动图中我们可以看出，当点$E,F$越来越靠近时，点$C,D$趋向于$Q$点，直线$CD$的极限情况是圆在点$Q$处的切线．

本题借助于圆的性质，避免了复杂的直线与圆的联立计算，事实上，在直线与圆的问题中，很少直接联立，因为圆有太多美好的几何性质了．