函数\(g(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{12}+\cos \left(x-\dfrac{\pi+1}{2}\right)\)，求\(g\left(\dfrac{1}{2016}\right)+g\left(\dfrac{2}{2016}\right)+\cdots+g\left(\dfrac{2014}{2016}\right)+g\left(\dfrac{2015}{2016}\right)\)的值．
正确答案是$2015$．
分析 观察所求式子中自变量的特点，可知解决此题的关键是寻找对称中心．我们可以利用导函数的对称轴去寻找\(f(x)\)的对称中心（见原函数与导函数对称性的联系），但发现\(f(x)\)没有对称中心．观察\(f(x)\)，它是由一个三次函数和一个余弦型函数相加得到的，这两个函数都是中心对称的函数，我们分别寻找它们的对称中心，求出它们在各个点的函数值之和，再相加即可．
解 令\[\begin{split} s(x)&=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{12},\\v(x)&=\cos \left(x-\dfrac{\pi+1}{2}\right)=\sin\left(x-\dfrac 12\right ).\end{split} \]则\[f(x)=s(x)+v(x).\]\(s(x)\)的导函数\[s'(x)=x^2-x+3\]的对称轴为\(x=\dfrac{1}{2}\)，于是\(s(x)\)关于点\(\left(\dfrac{1}{2},s\left(\dfrac 12\right )\right)\)中心对称．又由正弦型函数的性质知，\(v(x)\)的一个对称中心是\(\left(\dfrac{1}{2},0\right)\)．于是有\[\begin{split} s(x)+s(1-x)&=2s\left(\dfrac{1}{2}\right)=2,\\v(x)+v(1-x)&=0. \end{split} \]由倒序相加法知\[\sum_{i=1}^{2015}{s\left(\dfrac {i}{2016}\right )}=\dfrac 12\sum_{i=1}^{2015}\left[s\left(\dfrac {i}{2016}\right )+s\left(\dfrac {2016-i}{2016}\right )\right ]=2015.\]同理有\[\sum_{i=1}^{2015}{v\left(\dfrac {i}{2016}\right )}=0.\]故所求的值为$2015+0=2015$．
更多相关问题见每日一题[74]寻找对称中心．