每日一题[373]对称之美

函数$g(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{12}+\cos \left(x-\dfrac{\pi+1}{2}\right)$，求$g\left(\dfrac{1}{2016}\right)+g\left(\dfrac{2}{2016}\right)+\cdots+g\left(\dfrac{2014}{2016}\right)+g\left(\dfrac{2015}{2016}\right)$的值．

正确答案是$2015$．

分析　观察所求式子中自变量的特点，可知解决此题的关键是寻找对称中心．我们可以利用导函数的对称轴去寻找$f(x)$的对称中心（见原函数与导函数对称性的联系），但发现$f(x)$没有对称中心．观察$f(x)$，它是由一个三次函数和一个余弦型函数相加得到的，这两个函数都是中心对称的函数，我们分别寻找它们的对称中心，求出它们在各个点的函数值之和，再相加即可．

解　令 $$\begin{split} s(x)&=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{12},\\v(x)&=\cos \left(x-\dfrac{\pi+1}{2}\right)=\sin\left(x-\dfrac 12\right ).\end{split}$$ 则 $$f(x)=s(x)+v(x).$$ $s(x)$的导函数 $$s'(x)=x^2-x+3$$ 的对称轴为$x=\dfrac{1}{2}$，于是$s(x)$关于点$\left(\dfrac{1}{2},s\left(\dfrac 12\right )\right)$中心对称．又由正弦型函数的性质知，$v(x)$的一个对称中心是$\left(\dfrac{1}{2},0\right)$．于是有 $$\begin{split} s(x)+s(1-x)&=2s\left(\dfrac{1}{2}\right)=2,\\v(x)+v(1-x)&=0. \end{split}$$ 由倒序相加法知 $$\sum_{i=1}^{2015}{s\left(\dfrac {i}{2016}\right )}=\dfrac 12\sum_{i=1}^{2015}\left[s\left(\dfrac {i}{2016}\right )+s\left(\dfrac {2016-i}{2016}\right )\right ]=2015.$$ 同理有 $$\sum_{i=1}^{2015}{v\left(\dfrac {i}{2016}\right )}=0.$$ 故所求的值为$2015+0=2015$．

更多相关问题见每日一题[74]寻找对称中心．