练习题[12] 创新能力培养基础练习

1、对于任意两个实数$a,b$，定义运算“$*$”如下： $$a*b=\begin{cases}a,a\leqslant b,\\b,a>b.\end{cases}$$ 那么函数 $$f(x)=x^2*\left[(6-x)*(2x+15)\right]$$ 的最大值为_______．

2、已知$x,y>0$，且$x+y=12$，则$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+16}$的最小值为_______．

3、已知向量序列：$\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\cdots,\overrightarrow{a_n},\cdots$满足如下条件：$\left|\overrightarrow{a_1}\right|=4\left|\overrightarrow{d}\right|=2$，$2\overrightarrow{a_1}\cdot\overrightarrow{d}=-1$且$\overrightarrow{a_n}-\overrightarrow{a_{n-1}}=\overrightarrow{d}$（$n=2,3,4,\cdots$）．若$\overrightarrow{a_1}\cdot\overrightarrow{a_k}=0$，则$k=$_______；$\left|\overrightarrow{a_i}\right|$（$i=1,2,3,\cdots$）中最小项对应的$i=$_______．

4、如图，从$A$到$B$，每次只能向右或者向上移动一步，有_______种不同的走法．

 5、已知实数$a>0$，$f(x)=\begin{cases}x^2-2ax,&x\leqslant 1,\\{\log_{\frac 12}}x,&x>1.\end{cases}$若方程$f(x)=-\dfrac 34a^2$有且仅有两个不等实根，且较大实根大于$2$，则实数$a$的取值范围是_______．

 参考答案

1、$9$      提示：利用图象

2、$13$      提示：利用勾股定理构造直角三角形

3、$9$；$3$       提示：利用图形

4、$41$      提示：如图，每个交叉点处的数等于它左边和下边的数之和

5、$\left(\dfrac{2\sqrt 3}3,2\right]$．