每日一题[314]渐开数

“渐开数”是指：一个数从第二位起，每一位数字都比其左边数字大的整数（如$236$），那么任取一个三位数，它是“渐开数”的概率为_____．

正确答案是$\dfrac{7}{75}$．

解　我们先来看“渐开数”的特征，任何一个“渐开数”的三个数字均不相同，且不含零．

而任何三个不同的数字（不含零）都能组成唯一的一个“渐开数”．

于是我们得到三位“渐开数”的个数为 $$\mathrm{C}_9^3=84.$$ 从而所求概率为 $$\dfrac {\mathrm C_9^3}{999-100+1}=\dfrac {7}{75}.$$

本题的关键在于找到其中的对应关系，很多与计数相关的问题都需要寻找对应关系，一个好的对应关系可以看清问题本质，减少不必要的讨论．

下面给出两个练习．

练习1．“下降数”是指：一个数十位起，每一个数字都比其右边的数字大的整数（如$632$），那么任取一个三位数，它是“下降数”的概率为_____．

练习2．“蘑菇数”是指：一个三位数，十位数字比个位数字与百位数字都大（如$362$），那么无重复数字的“蘑菇数”有_____个．

练习1答案$\dfrac{2}{15}$；

提示　“下降数”与“渐开数”不同的地方在于，它与从十个数字中任取三个数字的方法一一对应；

练习2答案$204$．

提示　“蘑菇数”的问题中个位与百位的数字大小关系不确定，另外个位数可以为零，所以需要先分类，三个数字均不为零的“蘑菇数”有 $$\mathrm{C}_9^3\mathrm{A}_2^2=168$$ 个；三个数字中含零时，零只能在个数上，对应的“蘑菇数”有 $$\mathrm{C}_9^2=36$$ 个，综上知所有的“蘑菇数”有$204$个．

更多类似的问题见每日一题[239]格物致知．