“渐开数”是指:一个数从第二位起,每一位数字都比其左边数字大的整数(如236),那么任取一个三位数,它是“渐开数”的概率为_____.
正确答案是775.
解 我们先来看“渐开数”的特征,任何一个“渐开数”的三个数字均不相同,且不含零.
而任何三个不同的数字(不含零)都能组成唯一的一个“渐开数”.
于是我们得到三位“渐开数”的个数为C39=84.
从而所求概率为C39999−100+1=775.
本题的关键在于找到其中的对应关系,很多与计数相关的问题都需要寻找对应关系,一个好的对应关系可以看清问题本质,减少不必要的讨论.
下面给出两个练习.
练习1.“下降数”是指:一个数十位起,每一个数字都比其右边的数字大的整数(如632),那么任取一个三位数,它是“下降数”的概率为_____.
练习2.“蘑菇数”是指:一个三位数,十位数字比个位数字与百位数字都大(如362),那么无重复数字的“蘑菇数”有_____个.
练习1答案215;
提示 “下降数”与“渐开数”不同的地方在于,它与从十个数字中任取三个数字的方法一一对应;
练习2答案204.
提示 “蘑菇数”的问题中个位与百位的数字大小关系不确定,另外个位数可以为零,所以需要先分类,三个数字均不为零的“蘑菇数”有C39A22=168
个;三个数字中含零时,零只能在个数上,对应的“蘑菇数”有C29=36
个,综上知所有的“蘑菇数”有204个.
更多类似的问题见每日一题[239]格物致知.
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