这是一道模拟试卷中的压轴题:
设函数f(x)=lnx+aex.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a=2,证明:对任意的x>0,都有f(x)>e−x.
解 (1)f(x)的导函数f′(x)=1ex2⋅(ex−a),
于是当a⩽0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,函数f(x)在(0,ae)上单调递减,在(ae,+∞)上单调递增.
(2)题中的不等式即lnx+2ex>e−x,
也即xlnx+2e>e−x⋅x,
设函数h(x)=xlnx,那么我们有h(e−x)=−e−x⋅x,
于是该不等式即h(x)+h(e−x)⩾−2e.
发现题中指数部分和对数部分之间的关联后,研究其中的桥梁—h(x)就是势在必行的了.事实上,h(x)的导函数h′(x)=1+lnx,
于是函数h(x)的草图如图,在(0,+∞)上最小值为h(1e)=−1e.
由于当x>0时,e−x取遍所有(0,1)上的实数,于是h(e−x)的取值范围是[−1e,0).
这样我们就得到了h(x)⩾−1e∧h(e−x)⩾−1e,
但两个式子中的等号分别当且仅当x=1e和x=1时取得,无法同时取得,因此我们就得到了题中的不等式.
解题中用到了这个简单事实:
引理 一个复合函数f(g(x))的取值范围是函数f(x)的值域的子集,特别的,如果函数g(x)的取值范围恰好与f(x)的定义域相同,那么复合函数f(g(x))的取值范围就是函数f(x)的值域.
利用引理,我们可以通过一种新颖的方式证明:
如果函数f(x)=x+1x,其中x>0有最小值m,那么m=2.
证明 考虑函数[f(x)]2.
一方面,其最小值为m2;
另一方面,有[f(x)]2=x2+1x2+2=f(x2)+2,
而当x取遍所有正实数时,x2也取遍所有正实数,因此其最小值为m+2;
综上,可以得到m2=m+2,
解得m=2,其中m=−1舍去.
注一 2014年高考全国新课标I卷的压轴题:
设函数f(x)=aexlnx+bex−1x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=e(x−1)+2.
(1)求a,b;
(2)证明:f(x)>1.
该题的第(2)小问的本质即题中不等式.
注二 利用这种复合的方式,可以构造出很多同时包含指数与对数的函数不等式.因此在处理这种同时包含指数与对数的函数不等式时,可以优先寻找充当桥梁的函数以简化问题.