每日一题[282] 天堑变通途

这是一道模拟试卷中的压轴题:

设函数f(x)=lnx+aex

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若a=2,证明:对任意的x>0,都有f(x)>ex


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   (1)f(x)的导函数f(x)=1ex2(exa),

于是当a0时,函数f(x)(0,+)上单调递增;当a>0时,函数f(x)(0,ae)上单调递减,在(ae,+)上单调递增.

(2)题中的不等式即lnx+2ex>ex,

也即xlnx+2e>exx,
设函数h(x)=xlnx,那么我们有h(ex)=exx,
于是该不等式即h(x)+h(ex)2e.

发现题中指数部分和对数部分之间的关联后,研究其中的桥梁—h(x)就是势在必行的了.事实上,h(x)的导函数h(x)=1+lnx,

于是函数h(x)的草图如图,在(0,+)上最小值为h(1e)=1e.

QQ20151026-3

由于当x>0时,ex取遍所有(0,1)上的实数,于是h(ex)的取值范围是[1e,0)

这样我们就得到了h(x)1eh(ex)1e,

但两个式子中的等号分别当且仅当x=1ex=1时取得,无法同时取得,因此我们就得到了题中的不等式.


解题中用到了这个简单事实:

引理    一个复合函数f(g(x))的取值范围是函数f(x)的值域的子集,特别的,如果函数g(x)的取值范围恰好与f(x)的定义域相同,那么复合函数f(g(x))的取值范围就是函数f(x)的值域.

利用引理,我们可以通过一种新颖的方式证明:

如果函数f(x)=x+1x,其中x>0有最小值m,那么m=2

证明    考虑函数[f(x)]2

一方面,其最小值为m2

另一方面,有[f(x)]2=x2+1x2+2=f(x2)+2,

而当x取遍所有正实数时,x2也取遍所有正实数,因此其最小值为m+2

综上,可以得到m2=m+2,

解得m=2,其中m=1舍去.


注一    2014年高考全国新课标I卷的压轴题:

设函数f(x)=aexlnx+bex1x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=e(x1)+2

(1)求a,b

(2)证明:f(x)>1

该题的第(2)小问的本质即题中不等式.

注二    利用这种复合的方式,可以构造出很多同时包含指数与对数的函数不等式.因此在处理这种同时包含指数与对数的函数不等式时,可以优先寻找充当桥梁的函数以简化问题.

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