巧解代数式最值

【初级】
已知$x,y$为实数，求代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(6-x)^2+9}$的最小值．

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解    此题如果用代数思想解决会比较麻烦，借助图形就很好解决了．

原式我们可以变形为

$$\sqrt {(x-0)^2+(0-2)^2}+\sqrt {(x-6)^2+(0-3)^2}.$$ 而这种形式恰好就是两点间距离公式．
（注    设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$．）
如图，原式的最小值就是点$(x,0)$到点$A(0,2)$、点$B(6,3)$的距离之和的最小值（利用轴对称作图）．
所以求得原式的最小值为$\sqrt {61}$．

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【升级】
已知$x,y$为实数，求代数式$\sqrt{1+(y-2)^2}+\sqrt{9+(3-x)^2}+\sqrt{x^2+y^2}$的最小值．

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解    原式可变为

$$\sqrt{(0-1)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(0-3)^2}+\sqrt{(x-0)^2+(0-y)^2}.$$ 如图，原式的最小值就是点$(0,y)$到点$A(1,2)$、点$(x,0)$到点$B(3,3)$、点$(0,y)$到点$(x,0)$的距离之和的最小值（利用轴对称作图）．
所以求得原式的最小值为$\sqrt{41}$．