【初级】
已知x,y为实数,求代数式√x2+4+√(6−x)2+9的最小值.
解 此题如果用代数思想解决会比较麻烦,借助图形就很好解决了.
原式我们可以变形为√(x−0)2+(0−2)2+√(x−6)2+(0−3)2.而这种形式恰好就是两点间距离公式.
(注 设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2.)
如图,原式的最小值就是点(x,0)到点A(0,2)、点B(6,3)的距离之和的最小值(利用轴对称作图).
所以求得原式的最小值为√61.
【升级】
已知x,y为实数,求代数式√1+(y−2)2+√9+(3−x)2+√x2+y2的最小值.
解 原式可变为√(0−1)2+(y−2)2+√(x−3)2+(0−3)2+√(x−0)2+(0−y)2.如图,原式的最小值就是点(0,y)到点A(1,2)、点(x,0)到点B(3,3)、点(0,y)到点(x,0)的距离之和的最小值(利用轴对称作图).
所以求得原式的最小值为√41.