已知 $xy+yz+zx=-1$，求证：$x^2+y^2+z^2+x+y+z\geqslant 1-\sqrt 3$．
2021年7月1日，by xixiggg：
记 $s=x+y+z$，则\[x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=s^2+2,\]于是，\[x^2+y^2+z^2+x+y+z=s^2+s+2=\left(s+\dfrac 1 2\right)^2+\dfrac 7 4\geqslant \dfrac 7 4\geqslant 1-\sqrt{3},\]命题得证．