征解问题[2] 函数的值域（已解决）

求函数\(y=\sqrt {ax+b}-\sqrt {cx+d}\)的值域．

 当\(a>0\)时，

若\(c<0\)，则函数在定义域\(\left[-\dfrac ba,-\dfrac dc\right]\)上单调递增（此时\(ad-bc\geqslant 0\)），于是函数的值域为\(\left[-\sqrt {\dfrac {ad-bc}a},\sqrt {\dfrac {ad-bc}{-c}}\right]\)．

若\(c=0\)，则函数在定义域为\(\left[-\dfrac ba,+\infty\right)\)上单调递增，于是函数的值域为\([-d,+\infty)\)．

若\(c>0\)，此时又分为三类：

\(ad-bc=0\)时，函数定义域为\(\left[-\dfrac ba,+\infty\right)\)，此时

若\(a>c\)，则值域为\([0,+\infty)\)；
若\(a=c\)，则值域为\(\{0\}\)；
若\(a<c\)，则值域为\((-\infty,0]\)．

\(ad-bc>0\)时，函数定义域为\(\left[-\dfrac ba,+\infty\right)\)，此时令\(s=\sqrt {ax+b}\)，\(t=\sqrt {cx+d}\)，\(s\geqslant 0\)，\(t\geqslant 0\)，则\[x=\dfrac {s^2-b}a=\dfrac {t^2-d}c.\]于是\[\dfrac {t^2}c-\dfrac {s^2}a=\dfrac {ad-bc}{bc}.\]此时问题转化为一个非线性规划问题（可行域为双曲线在第一象限的部分，目标函数为\(y=s-t\)）．此时

若\(a>c\)，则值域为\(\left[-\sqrt {\dfrac {ad-bc}a},+\infty\right)\)；
若\(a=c\)，则值域为\(\left[-\sqrt {d-b},0\right)\)；
若\(a<c\)，则值域为\(\left(-\infty,-\sqrt {\dfrac {ad-bc}a}\right]\)．

\(ad-bc<0\)时，函数定义域为\(\left[-\dfrac dc,+\infty\right)\)，用变形\[y=-(\sqrt {cx+d}-\sqrt {ax+b})\]可以求得

若\(a>c\)，则值域为\(\left[\sqrt {\dfrac {bc-ad}c},+\infty\right)\)；
若\(a=c\)，则值域为\(\left(0,-\sqrt {b-d}\right]\)；
若\(a<c\)，则值域为\(\left(-\infty,\sqrt {\dfrac {bc-ad}c}\right]\)．

当\(a=0\)时，函数的定义域为\(\left[-\dfrac dc,+\infty\right)\)，值域为\((-\infty,0]\)．

当\(a<0\)时，与\(a>0\)的讨论类似，不再赘述．