对2010年北京中考压轴题的深入思考

该题改编于2010年北京中考第25题（压轴题）：

已知$\triangle ABC$中，$\angle BAC=2\angle ACB$，点$D$是$\triangle ABC$内的一点，且$AD=CD$，$AB=DB$．
（1）如图1，当$\angle BAC=90°$时，求$\angle DBC$与$\angle ABC$度数的比值；
（2）如图2，当$\triangle ABC$为锐角三角形时，求$\angle DBC$与$\angle ABC$度数的比值．

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解    （1）此时$\triangle ABC$为等腰直角三角形，可以将其补成正方形$ABEC$，连接$AE,DE$．
由正方形的对称性可得

$$\angle DEA=\angle DBC.$$ 由$BA=BD=BE$，得$A,D,E$三点在以$B$为圆心、$AB$为半径的圆上，所以 $$\angle ABD=2\angle AED,$$ 故 $$\angle DBC:\angle ABC=1:3.$$
（2）模仿（1）的解题思路，需要找到一个点$E$，使得$A,D,E$三点在以$B$为圆心、$AB$为半径的圆上，且$\angle AED=\angle CBD$，而这样点$E$是点$B$关于$AC$垂直平分线的对称点．

如图，作点$B$关于$AC$垂直平分线的对称点$E$，连接$AE,BE,DE$．
由轴对称的性质可得

$$\angle AED=\angle CBD,\angle BCA=\angle EAC.$$ 因为$\angle BCA=\dfrac 12 \angle BAC$，则 $$\angle BAE=\angle EAC=\angle BEA,$$ 所以 $$BE=BA=BD,$$ 即$A,D,E$三点在以$B$为圆心、$AB$为半径的圆上，故 $$\angle DBC:\angle ABC=1:3.$$

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练习    同上题条件，当$\angle BAC>90^\circ$时，请你画出图形，猜想$\angle DBC$与$\angle ABC$度数的比值并加以证明．

提示：