“梅氏定理”与“塞瓦定理”的简单应用

梅氏定理（梅涅劳斯定理）： 当直线交$\triangle ABC$三边所在直线$BC,AC,AB$于点$D,E ,F$时，有$\dfrac {AF}{FB}\cdot \dfrac {BD}{DC}\cdot \dfrac {CE}{EA}=1$． 塞瓦定理： 在$\triangle ABC$内任取一点$O$，延长$AO,BO,CO$分别交对边于$D,E,F$，则$\dfrac {BD}{DC}\cdot \dfrac {CE}{EA}\cdot \dfrac {AF}{FB}=1$．

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本题要通过梅氏定理与赛瓦定理来解决： $\triangle ABC$内有一点$P$，连结$AP,BP,CP$并延长，分别与对边相交，把$\triangle ABC$分成六个小三角形，若这六个小三角形中有三个面积相等，则点$P$必为$\triangle ABC$的重心． 证明    六个小三角形中有三个面积相等，由对称性可分为四种情况讨论： 情况一    如图①，$S_{\triangle PBF}=S_{\triangle DPB}=S_ {\triangle PDC}$； 此时$BD=CD$，所以$\dfrac{CP}{PF}=2$， 由梅氏定理可得$\dfrac{CP}{PF}\cdot \dfrac{AF}{AB}\cdot\dfrac{BD}{DC}=1$， 所以$AF=BF$，即$P$为重心． 情况二    如图②，$S_{\triangle APF}=S_{\triangle DPB}=S_ {\triangle PDC}$； 可得$S_{\triangle AFC}=S_{\triangle ADC}$， 所以$DF\parallel AC$， 所以$D,F$分别为$BC,AB$中点，即$P$为重心． 情况三    如图③，$S_{\triangle FBP}=S_{\triangle DPB}=S_ {\triangle AEP}$； 此时有$DE\parallel AB$， 根据塞瓦定理得$\dfrac{AF}{BF}\cdot \dfrac{BD}{DC}\cdot \dfrac{CE}{AE}=1$， 所以$AF=BF$，于是$S_{\triangle APF}=S_{\triangle BPF}$， 由情况①可得$P$为重心． 情况四    如图④，$S_{\triangle AFP}=S_{\triangle DPB}=S_ {\triangle PCE}$； 根据塞瓦定理得$\dfrac{S_{\triangle BDP}}{S_{\triangle PDC}}\cdot \dfrac{S_{\triangle PCE}}{S_{\triangle APE}}\cdot \dfrac{S_{\triangle AFP}}{S_{\triangle BFP}}=1$， 设相等的三角形面积为$a$，$\triangle APE,\triangle CDP$与$\triangle BFP$的面积分别为$x,y$与$z$，所以$xyz=a^3$． ① 若$x,y,z$互不相等，不妨设$x>y>z$，则$x>a$，$z<a$，但

$$1<\dfrac xa=\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{S_{\triangle AEP}}{S_{\triangle CEP}}=\dfrac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle BCP}}=\dfrac{a+z}{a+y}<1，$$ 结论矛盾； ② 若$x,y,z$中有相等，不妨设$x=y$，则$\dfrac az=\dfrac {a+x}{a+y}=1$，所以$a=z$， 由$xyz=a^3$得$xy=a^2$，所以$x=y=z=a$， 即点$D,E,F$分别为各边的中点，$P$为重心． 综上，点$P$必为$\triangle ABC$的重心．