四种典型的动点轨迹问题

一    到定点的距离相等形成的圆弧

题1    如图，直角梯形$ABCD$中，$\angle BAD=\angle ADC=90^\circ$，$AD=CD=\dfrac 12AB=4$，点$P$是线段$AD$上的一动点，将$\triangle ABP$沿$BP$翻折到$\triangle A'BP$，连接$A'C$，$A'D$． （1）当点$P$在$AD$上运动时，求$A'C$的最小值； （2）当点$P$在$AD$上运动时，求$A'D$的最小值； （3）当点$P$在$AD$上运动时，求$A'C+A'D$的最小值． 正确答案是（1）$8-4\sqrt 2$；（2）$4\sqrt 5-8$；（3）$4$． 点$A'$的轨迹为以$B$为圆心，$BA$为半径的圆弧．

二    对定线段所张角为定角形成的圆弧（一）

题2    如图，以$G(0,1)$为圆心，半径为$2$的圆与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于$C$、$D$两点，点$E$为$\odot  G$上一动点，$CF\perp AE$于$F$，当点$E$从点$B$出发顺时针运动到点$D$时，点$F$所经过的路径长为                ． 正确答案是 $\dfrac {\sqrt 3}3\pi$． 点$F$的轨迹为以$AC$为直径的弧$OA$，长度为$\dfrac {\sqrt 3}3\pi$．

题3    如图，$E$、$F$是正方形$ABCD$的边$AD$上的两个动点，满足$AE=DF$，连接$CF$交$BD$于$G$，连接$BE$交$AG$于点$H$，若正方形的边长为$2$，则点$H$的运动路径长为_______，线段$DH$长度的最小值为_______． 答案是$\dfrac {\pi}2$，$\sqrt 5-1$． 点$H$的轨迹是以$AB$为直径的弧．

三    对定线段所张角为定角形成的圆弧（二）

题4    如图，弓形$BAC$中，$\angle BAC=60^\circ$，$BC=2\sqrt 3$，$I$为$\triangle ABC$内一点，且满足$\angle BIC=120^\circ$，当点$P$在优弧$BAC$上由点$B$向点$C$移动，则$I$的运动路径长为_______． 答案是$\dfrac 43\pi$． 点$I$的轨迹是以$BC$为弦的圆弧，可以参考“等张角线”．

注    此题可以改编为 等边$\triangle ABC$边长为$2$，射线$AM\parallel BC$，$P$是射线$AM$上一动点（不与$A$重合），$\triangle APC$的外接圆交$BP$于点$Q$，则$AQ$长的最小值为_______．（$\dfrac{2\sqrt 3}3$）

四   旋转位似形成的线段

题5    如图，在边长为$3$的等边$\triangle ABC$中，$P$为$AC$边上一动点，$Q$为线段$PC$上一点，$\angle PBQ=30^\circ$，$D$为$BQ$延长线上一点，$PD=PB$，当点$P$从点$A$运动到$AP=\dfrac 12AC$时，点$D$经过的路径长度为_______． 答案是$\dfrac {3\sqrt 3}2$． 点$D$所经过的路径为线段$MN$，长度为$\dfrac {3\sqrt 3}2$．