角含半角模型之90°含45°（五）

如图，已知$\triangle ABC$中，$\angle BAC=45^\circ$，$AD\perp BC$于点$D$，若$BD=2$，$CD=1$，求$\triangle ABC$的面积．

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分析　观察图形，发现是角含半角模型图的一部分（如下图），那么是否可以用该模型来解决本题呢？
证明 （方法一）作$\triangle DAB$关于$AB$对称的$\triangle EAB$，作$\triangle DAC$关于$AC$对称的$\triangle FAC$，延长$FC$，$EB$交于点$G$．
由已知可得四边形$AEGF$是正方形，$EB=2$，$FC=1$，
设正方形边长为$a$，则$AD=a$，所以$BG=a-2$，$GC=a-1$．
在${\rm Rt}\triangle BCG$中，

$$(a-2)^2+(a-1)^2=3^2,$$ 解得 $$a=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}(负值舍去),$$ 所以 $$S_{\triangle ABC}=\dfrac{9+3\sqrt {17}}{4}.$$
（方法二）将$\triangle ABD$绕着点$A$逆时针旋转$90^\circ$得到$\triangle AGF$，
连接$GC$，延长$FG$，$DC$交于点$E$，
所以四边形$ADEF$为正方形，$\triangle ABC\cong\triangle AGC$，
设边长为$a$，则$EC=a-1$，$EG=a-2$，
在${\rm Rt}\triangle ECG$中， $$(a-2)^2+(a-1)^2=3^2,$$ 解得 $$a=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}(负值舍去),$$ 所以 $$S_{\triangle ABC}=\dfrac{9+3\sqrt {17}}{4}.$$
此题的方法有很多种，从不同角度出发就有不同的解决方法．