每日一题[279] 运动中的规律探索

2013年全国高考数学新课标II卷理科第12题（选择压轴题）：

已知点$A(-1,0)$，$B(1,0)$，$C(0,1)$，直线$y=ax+b$（$a>0$）将$\triangle ABC$分割为面积相等的两部分，则$b$的取值范围是(   )

A．$(0,1)$

B．$\left(1-\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac 12\right)$

C．$\left(1-\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac 13\right]$

D．$\left[\dfrac 13,\dfrac 12\right)$

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本题的正确答案是 B．

解　  动直线$y=ax+b$的斜率为$a$，纵截距为$b$，且显然有$b>0$．

注意到$a>0$，考虑$a$的两个边界的情形：

当$a=0$时，可以通过直接计算面积得到

$$b=1-\dfrac{\sqrt 2}{2}.$$ 当$b<1-\dfrac{\sqrt 2}{2}$时，结合图象易得右下方的面积始终比左上方的面积小．当$b>1-\dfrac{\sqrt 2}{2}$时，$a$从$0$开始变化，（右）下方的面积开始时比（左）上方面积大，之后(右)下方面积开始减少，如果存在某个时候右下方的面积比左上方的面积小，因为面积连续变化，就能保证存在某个时刻两部分的面积相等．

我们去探索何时右下方的面积比左上方的面积小，此时考虑另一个边界$a\rightarrow+\infty$的情形，如图：

右下方的面积大小取决于如图两块阴影面积的大小比较，可以怀疑当$b=\dfrac 12$时，这两块面积接近相等．于是我们来分析$b=\dfrac 12$的情形：

当$b\geqslant \dfrac 12$时，右下方的面积始终比左上方的面积大（$y$轴左边的阴影三角形面积始终比右边的阴影三角形的面积大）．

而当$b<\dfrac 12$时，当$a\rightarrow+\infty$时，必然存在某个时候，右下方的面积比左上方的面积小．所以

$$1-\dfrac{\sqrt 2}{2}<b<\dfrac 12$$ 为所求的范围．

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本题也可以从另外一个角度出发：

先探究将$\triangle ABC$的面积平分的直线是什么样的．

考虑到$a>0$，该直线一定与线段$BC$相交，于是我们从$BC$上的一个动点$M$出发去构造平分$\triangle ABC$面积的直线．

根据动点$M$在$BC$中点的左上方还是右下方，三角形被分成的两部分形状不同，实际情况如下图如示： 实际上$b$的取值范围如图中线段所示（不包含端点）．

注一　由问题的对称性可知条件$a>0$是多余的．

注二    本题也可以直接代数计算解决，但计算量比较大．有兴趣的同学尝试．

赵晚龙老师提供了另外一种做法，见每日一题[279]的另解．